求和符号的定义和性质

2024-07-02 07:52| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. ∑ \sum ∑的定义

在数学中经常遇到多项式求和的问题, 为了表述的方便, 引入了求和符号来简化表述的方法, 并且这样的的表述方法非常普遍, 因此了解求和符号 ∑ \sum ∑及其运算性质就非常重要. 看下面的和式: a 1 + a 2 + . . . + a n a_1+a_2+...+a_n a1+a2+...+an 表示n个数的和, 为了简化表述, 在1820年Joseph Fourier引入了定界的 ∑ \sum ∑表示法, 并且得到了应用普及. 上述和式表达如下: a 1 + a 2 + . . . + a n = ∑ k = 1 n a k a_1 + a_2 + ... + a_n = \sum_{k=1}^n a_k a1+a2+...+an=k=1∑nak 在 ∑ k = 1 n a k \sum_{k=1}^na_k ∑k=1nak中, k k k称为指标变量(指标变量用什么字母无关紧要, 重要的是其取值的范围), 其值从1到n; a k a_k ak为 k k k的函数.

注意:

指标变量不是必须从1开始的, 它可以从小于等于n的任何一个整数m开始, 比如: ∑ k = m n a i = a m + a m − 1 + . . . + a n \sum_{k=m}^n a_i = a_m + a_{m-1} + ... + a_n ∑k=mnai=am+am−1+...+an特别地, ∑ k = n n = a n \sum_{k=n}^n = a_n ∑k=nn=an

了解和掌握求和符号的一般规律, 不仅可以使复杂问题的表述简单, 而且也有助于对相关算法的理解.

2. 求和符号运算的性质

定理1: ∑ k = 1 n a k = ∑ k = 1 m a k + ∑ k = m + 1 n a k . 其中 1 < m < n \sum_{k=1}^na_k = \sum_{k=1}^ma_k + \sum_{k=m+1}^na_k . 其中1\lt m \lt n k=1∑nak=k=1∑mak+k=m+1∑nak.其中1

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